Question

【題目】設函數(shù)，其中．

若，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍；

若，且對任意的，都有，求實數(shù)a的取值范圍．

若對任意的，，都有，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）； （3） .

【解析】

（1）判斷在上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出的最值，得出值域；

（2）令，根據(jù)對稱軸與區(qū)間，求出得最大值，令，解出的取值范圍；

（3）設函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為，對任意的，都有等價于，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解．

因為，

所以在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)增，且對任意的，都有，

若，則．

當時單調(diào)減，從而最大值，最小值．

所以的取值范圍為；

當時單調(diào)增，從而最大值，最小值．

所以的取值范圍為；

所以在區(qū)間上的取值范圍為

“對任意的，都有”等價于“在區(qū)間上，”．

若，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)增．

當，即時，

由，得，

從而．

當，即時，由，得，

從而．

綜上，a的取值范圍為區(qū)間

設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，

所以“對任意的，，都有”等價于“”．

當時，，．

由，得．

從而．

當時，，．

由，得

．

從而．

當時，，．

由，得．

從而．

當時，，．

由，得．

從而．

綜上，t的取值范圍為區(qū)間