Question

弦AB經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則下列敘述中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A．當(dāng)AB與x垂直時(shí)，|AB|最小
B．|AB|=x₁+x₂+p
C．以弦AB為直徑的圓與直線相離
D．y₁y₂=-p²

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)直線L的方程與拋物線聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，x₁x₂進(jìn)而得出y₁y₂根據(jù)拋物線定義可求得|AB|的表達(dá)式，整理可得|AB|=2p（1+），由于k=tana，進(jìn)而可知當(dāng)a=90°時(shí)AB|有最小值．
解答：解；焦點(diǎn)F坐標(biāo)（ ，0），設(shè)直線L過F，則直線L方程為y=k（x-）
聯(lián)立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+=0
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=p+  x₁x₂=
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正確
|AB|=x₁+x₂+=x₁+x₂+p=2p+=2p（1+）∴B正確
因?yàn)閗=tana，所以1+=1+=
所以|AB|=
當(dāng)a=90°時(shí)，即AB垂直于X軸時(shí)，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正確
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．這道題綜合了拋物線的性質(zhì)、拋物線的焦點(diǎn)弦、直線與拋物線的關(guān)系等問題．綜合性很強(qiáng)．