Question

弦AB經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則下列敘述中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（　�。�

• A．當(dāng)AB與x垂直時(shí)，|AB|最小
• B．|AB|=x₁+x₂+p
• C．以弦AB為直徑的圓與直線x=-

  p

  2

  相離
• D．y₁y₂=-p²

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可設(shè)直線L的方程與拋物線聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂，x₁x₂進(jìn)而得出y₁y₂根據(jù)拋物線定義可求得|AB|的表達(dá)式，整理可得|AB|=2p（1+

1

k2

），由于k=tana，進(jìn)而可知當(dāng)a=90°時(shí)AB|有最小值．

解答：解；焦點(diǎn)F坐標(biāo)（

p

2

，0），設(shè)直線L過F，則直線L方程為y=k（x-

p

2

）
聯(lián)立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=p+

2p

k2

  x₁x₂=

p2

4

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正確
|AB|=x₁+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

=2p（1+

1

k2

）∴B正確
因?yàn)閗=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

當(dāng)a=90°時(shí)，即AB垂直于X軸時(shí)，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正確
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．這道題綜合了拋物線的性質(zhì)、拋物線的焦點(diǎn)弦、直線與拋物線的關(guān)系等問題．綜合性很強(qiáng)．