Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若不等式對恒成立，求的最小值；

（2）證明：.

（3）設(shè)方程的實根為.令若存在，，，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意可得，，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）不等式轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案；

（3）由題意可得，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性可得，記，，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即，即，即可得到結(jié)論.

（1），即，化簡可得.

令，，因為，所以，.

所以，在上單調(diào)遞減，.

所以的最小值為.

（2）要證，即.

兩邊同除以可得.

設(shè)，則.

在上，，所以在上單調(diào)遞減.

在上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.

設(shè)，因為在上是減函數(shù)，所以.

所以，即.

（3）證明：方程在區(qū)間上的實根為，即，要證

，由可知，即要證.

當(dāng)時，，，因而在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，，，因而在上單調(diào)遞減.

因為，所以，要證.

即要證.

記，.

因為，所以，則.

.

設(shè)，，當(dāng)時，.

時，，故.

且，故，因為，所以.

因此，即在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故得證.