Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知，，是的三個(gè)零點(diǎn)，且.當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，設(shè)，得到，從而得到的單調(diào)性和，根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得到的范圍；（2）當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，得到，記，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，從而確定的兩根的范圍，結(jié)合的范圍，得到的范圍，從而得證.

（1），

，

設(shè)

時(shí)，，所以單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；

時(shí)，，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；

所以，

因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以

有兩個(gè)解，

所以，即，

又因?yàn)?/span>和時(shí)，都有，

所以即為所求..

（2）證明：（ⅰ）當(dāng)，由（1）可知

，

所以在上單調(diào)遞增，

所以至多一個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾，

所以.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（1）可知：，

時(shí)單調(diào)遞增；

時(shí)單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，所以.

當(dāng)時(shí)，由可得，

記，則、是的兩根.

，

記，

則.

易知和時(shí)，都有，又，

所以在上單調(diào)遞增..

又因?yàn)?/span>，

所以時(shí)，，

即，所以單調(diào)遞減；

時(shí)，，

即，單調(diào)遞增，

設(shè)的兩根為

∵∴

∵∴.

當(dāng)時(shí)，的兩根、滿足，

則，證畢.