Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記表示中的最小值，設(shè)，若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為.（2）

【解析】

（1）求出，由得，，討論兩根大小，得出的正負(fù)，從而確定單調(diào)區(qū)間；

（2）只有唯一零點(diǎn)2，因此在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)才能滿足題意，根據(jù)（1）中得出的單調(diào)性，分類討論的極值與零點(diǎn)可得．

（1）的定義域?yàn)?/span>，

∴，令，得.

①當(dāng)，即時(shí)，；

②當(dāng)，即時(shí)，；

③當(dāng)，即時(shí)，，

綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為.

（2）的唯一一個(gè)零點(diǎn)是，∴，由（1）可得: (i)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，在定義域上單減遞減，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意； (ⅲ)當(dāng)時(shí)，若，即，此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，即，此時(shí)，即，此時(shí)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意；若，即，此時(shí)， ，記，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，.