Question

【題目】已知函數(shù)滿足，對于任意都有，且，另

（1）求函數(shù)的表達式；

（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并給予證明.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

（3）當時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點,證明見解析.

【解析】

（1）先由，得，由，得出對稱軸方程為，于是得出，再由得出不等式對任意恒成立，于是得出，從而解出、的值，進而得出函數(shù)的解析式；

（2）先將函數(shù)表示成分段函數(shù)的形式，考查對稱軸與相應定義域的位置關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）利用（2）中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與零點存在定理得出函數(shù)的零點個數(shù).

（1），，

對于任意都有,

函數(shù)的對稱軸為，即，得.

又，即對于任意都成立，

且，又，，．

；

（2）.

① 當時，函數(shù)的對稱軸為，

若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

② 當時，函數(shù)的對稱軸為，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

（3）當時，由（2）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，，故函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點．