Question

【題目】如圖，某地村莊P與村莊O的距離為千米，從村莊O出發(fā)有兩條道路，經(jīng)測量，的夾角為，OP與的夾角滿足（其中），現(xiàn)要經(jīng)過P修一條直路分別與道路交匯于兩點，并在處設立公共設施．

（1）已知修建道路的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價相等，求此時點之間的距離；

（2）考慮環(huán)境因素，需要對段道路進行翻修，段的翻修單價分別為n元/千米和元/千米，要使兩段道路的翻修總價最少，試確定點的位置．

Answer 1

【答案】（1）千米； （2）A位于距O點3千米處，B位于距O點3千米處．.

【解析】

（1）先建立坐標系，求出P點坐標，再根據(jù)條件求B點坐標，最后根據(jù)兩點間距離公式得結果，（2）先設直線方程，解得A,B坐標，用坐標表示翻修總價，最后利用導數(shù)求函數(shù)最值.

（1）以O為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標系，

因為，所以，

設，由，得，所以．

由題意得，所以，所以B點縱坐標為，

又因為點B在直線上，所以，

所以．

答：之間的距離為千米．

（2）設總造價為S，則，

設，要使S最小，只要y最小．

當軸時，，這時，

所以．

當AB與x軸不垂直時，設直線方程為，

令，得點A的橫坐標為，所以，

令，得點B的橫坐標為，，

因為且，所以或，

此時，

，

當時，y在上遞減，在上遞增，

所以，此時；

當時，．

綜上所述，要使段道路的翻修總價最少，A位于距O點3千米處，B位于距O點千米處．

答：要使段道路的翻修總價最少，A位于距O點3千米處，B位于距O點3千米處．