Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由得，∴，于是可得，；（2）根據(jù)（1）求得，

∴，利用裂項(xiàng)相消法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.

試題解析：（1）∵，

∴.

又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，

∴，∴，∴.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

又∵也滿足上式，∴.

（2）據(jù)（1）求解，得，

∴.

∴數(shù)列的前項(xiàng)和

.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.