Question

在數(shù)列中，，，對任意成立，令，且是等比數(shù)列.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求證：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先利用題中的定義，利用數(shù)列的前三項(xiàng)成等比數(shù)列求出的值，然后就的值進(jìn)行檢驗(yàn)，即對數(shù)列是否為等比數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn)；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)選擇累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）利用，將數(shù)列從第三項(xiàng)開始放縮為一個(gè)等比數(shù)列，而前面兩項(xiàng)的值保持不變，再利用數(shù)列求和即可證明相應(yīng)的數(shù)列不等式.
試題解析：（1），，，，
，，，
數(shù)列為等比數(shù)列，，即，解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，，即，
，所以滿足條件；
（2），數(shù)列為等比數(shù)列，，
，，，，
，；
（3），，

.
考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的定義；2.累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.放縮法