Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若，恒有成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)題意得到在上有解，則，計(jì)算得到答案.

（2）設(shè)，，計(jì)算得到單調(diào)遞增，故，討論，，三種情況，得到的取值范圍為，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（1）由，得，

由在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，可得在上有解，

即在上有解，則，∴，

∴的取值范圍為.

（2）設(shè)，，

則.

設(shè)，則，

∴單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增 ∴.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，由于為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，

而，，

由零點(diǎn)存在性定理，必存在一個(gè)零點(diǎn)，使得，

從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因此只需，∴，∴，從而，

綜上，的取值范圍為，

因此.設(shè)，則，

令，則，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而，∴的最小值為.