【題目】已知橢圓的離心率為
,且過點(diǎn)
,直線
交橢圓
于不同的兩點(diǎn)
,設(shè)線段
的中點(diǎn)為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)的面積為
(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn))且
時(shí),試問:在坐標(biāo)平面上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)
,使得當(dāng)直線
運(yùn)動(dòng)時(shí),
為定值?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)存在點(diǎn)
,
或
,
,使得
為定值
.
【解析】
試題分析:(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,由于已知離心率為,這樣可得
,從而可得
,從而可設(shè)可橢圓方程為
,再把橢圓上點(diǎn)
的坐標(biāo)代入可解得
,得橢圓方程;
(2)由題設(shè)結(jié)論可知中點(diǎn)的坐標(biāo)適合一個(gè)橢圓方程,即點(diǎn)
在橢圓上,那么題中要求的定點(diǎn)就是橢圓的焦點(diǎn).實(shí)質(zhì)上從問題出發(fā),就讓我們想到點(diǎn)
應(yīng)該在某個(gè)橢圓上.因此從這方面入手,就要求
的軌跡方程,因此我們從已知出發(fā)先找出參數(shù)
的關(guān)系,再求出弦中點(diǎn)
的坐標(biāo)(用
表示),然后消去參數(shù)
可得.
具體方法:由直線方程
,與橢圓方程聯(lián)立方程組
,消去
后得
的一元二次方程:
,已知
保證
,即直線與橢圓一定相交,設(shè)
,可得
,于是有
,從而點(diǎn)
的坐標(biāo),由直線圓錐曲線相交弦長公式可得弦
長,由點(diǎn)到直線距離公式可得原點(diǎn)點(diǎn)
到直線
的距離為
,利用
的面積為
可得
滿足的關(guān)系:
,
試題解析:(1)由于橢圓的離心率為,則
,故橢圓
:
又橢圓過點(diǎn),從而
,從而橢圓
的方程為
.
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為
,并設(shè)
,聯(lián)立方程
,
得,則
從而,從而點(diǎn)
的坐標(biāo)為
由于,點(diǎn)
到直線
的距離為
,
則的面積
由題得:,
從而化簡得:
故,即
或
,
又由于,從而
.
當(dāng)時(shí),由于
,
,
從而
即點(diǎn)在橢圓
上.
由橢圓的定義得,存在點(diǎn),
或
,
,
使得為定值
.
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(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷在
上的單調(diào)性并加以證明;
(3)求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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③演繹推理是由一般到特殊的推理;④類比推理是由特殊到一般的推理;
⑤類比推理是由特殊到特殊的推理。
A. ①②③; B. ②③④; C. ②④⑤; D. ①③⑤。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)在
的最小值;
(2)若函數(shù)與
的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的值;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
,且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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【題目】在數(shù)字1,2,3與符號(hào)+,-五個(gè)元素的所有全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( )
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A. 抽簽法 B. 隨機(jī)數(shù)法
C. 系統(tǒng)抽樣法 D. 其他方式的抽樣
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A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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