Question

中國航母“遼寧艦”是中國第一艘航母，“遼寧艦”以4臺蒸汽輪機為動力，為保證航母的動力安全性，科學家對蒸汽輪機進行了170余項技術(shù)改進，增加了某項新技術(shù)，該項新技術(shù)在進入試用階段前必須對其中的三項不同指標甲、乙、丙進行量化檢測．假如該項新技術(shù)的指標甲、乙、丙獨立通過量化檢測合格的概率分別為

3

4

，

2

3

，

1

2

．指標甲、乙、丙合格分別記為6分，3分，6分；若某項指標不合格，則該項指標記0分，各項指標檢測結(jié)果互不影響．
（1）求該項技術(shù)量化檢測得分不低于12分的概率；
（2）記該項新技術(shù)的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)為隨機變量Y，求Y的分布列與數(shù)學期望（結(jié)果用分數(shù)表示）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）該項新技術(shù)的三項不同指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A、B、C，事件“得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C．利用互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式能求出結(jié)果．
（2）該項新技術(shù)的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)X的取值為0，1，2，3，分別求出相對應的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學期望．

解答： 解：（1）該項新技術(shù)的三項不同指標甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A、B、C，
則事件“得分不低于12分”表示為ABC+A

.

B

C．
∴ABC與A

.

B

C為互斥事件，且A、B、C為彼此獨立，
∴P（ABC+A

.

B

C）=P（ABC）+P（A

.

B

C）
=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）
=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

3

8

；
（2）該項新技術(shù)的三個指標中被檢測合格的指標個數(shù)Y的取值為0，1，2，3，（6分）
∵P（Y=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

24

，
P（Y=1）=P（A

.

B

.

C

+

.

A

B

.

C

+

.

A

.

B

C）=

1

4

，
P（Y=2）=P（AB

.

C

+

.

A

BC+A

.

B

C）=

11

24

，
P（Y=3）=P（ABC）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

．
隨機變量Y的分布列為

Y	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

∴EY=0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．

點評：本題考查了隨機變量的分布列及其數(shù)學期望、相互獨立和互斥事件的概率計算公式，屬于中檔題．