Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，，且.

（1）若，求證：平面BDE；

（2）若二面角為，求直線CD與平面BDE所成角.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求出平面BDE法向量，根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示以及線面平行判定定理證明線面平行，

（2）在（1）基礎(chǔ)上利用向量數(shù)量積求出平面BDE以及平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出兩法向量夾角，再根據(jù)二面角求出，最后利用空間向量求線面角.

（1）取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>，，，為的中點(diǎn)，所以，。

又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，因?yàn)?/span>，所以，。

設(shè)平面的法向量，則

令，所以。

因?yàn)?/span>，所以，

又平面，所以平面。

（2）設(shè)，則，。

設(shè)平面的法向量，

則

令，所以。

又平面的法向量，

所以，解得，即知平面的法向量。設(shè)直線與平面所成的角為，而，所以，所以，即直線與平面所成的角為.