Question

如圖，四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角余弦值的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）中主要利用線線垂直可證線面垂直；（Ⅱ）中通過作平行線轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)解角；當(dāng)然也可建系利用空間向量來解；（Ⅲ）中利用等體積法可求，亦可用空間向量來解.
試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)OC


在中，由已知可得而
   即
          平面      4分
（Ⅱ）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中，

是直角斜邊AC上的中線，
       8分
（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為確規(guī)定


在中，

而

點(diǎn)E到平面ACD的距離為      12分
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則


異面直線AB與CD所成角的余弦值為
（Ⅲ）解：設(shè)平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個(gè)法向量，   又
點(diǎn)E到平面ACD的距離