Question

已知橢圓M：

x2

8

+

y2

4

=1和直線l1：y=

3

x，若雙曲線N的一條漸近線為l₁，其焦點(diǎn)與M的焦點(diǎn)相同．
（1）求雙曲線N的方程；
（2）設(shè)直線l₂過點(diǎn)P（0，4），且與雙曲線N相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)Q（Q與雙曲線N的頂點(diǎn)不重合），若

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，且λ1+λ2=-

8

3

，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，設(shè)雙曲線N的方程為：x2 -

y2

3

=λ(λ＞0)，根據(jù)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，可求雙曲線N的方程；
（2）由題意可知直線l₂的斜率存在且不可能為0，設(shè)直線l₂：x=m（y-4），與雙曲線方程聯(lián)立

x2 - y2 3 =1 x=m(y-4)

，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0，進(jìn)而可得y1+y2=

24m2

3m2-1

②，y1y2=

48m2-3

3m2-1

③，根據(jù)

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，可得（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂），利用λ1+λ2=-

8

3

，即可求得直線l₂的方程．

解答：解：（1）由題意，設(shè)雙曲線N的方程為：x2 -

y2

3

=λ(λ＞0)
∵橢圓M：

x2

8

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0）
∴雙曲線N：x2 -

y2

3

=λ(λ＞0)的焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0）
∴λ+3λ=4
∴λ=1
∴雙曲線N的方程為：x2 -

y2

3

=1
（2）由題意可知直線l₂的斜率存在且不可能為0，設(shè)直線l₂：x=m（y-4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴Q（4m，0）
聯(lián)立方程

x2 - y2 3 =1 x=m(y-4)

，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0
∴3m²-1≠0，△=576m⁴-4（3m²-1）（48m²-3）＞0①
y1+y2=

24m2

3m2-1

②，y1y2=

48m2-3

3m2-1

③
∵

PQ

=λ1

QA

=λ2

QB

，
∴（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂）
∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂
∴λ1=

-4

y1

，λ2=

-4

y2

∴λ1+λ2=

-4

y1

+

-4

y2

=-

8

3

④
由②③④可得：m2=

1

4

且滿足①式
∴直線l₂的方程為2x-y+4=0或2x+y-4=0

點(diǎn)評：本題以橢圓方程為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，進(jìn)而利用向量知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化．