Question

已知橢圓

x2

8

+

y2

b2

=1（0＜b＜2

2

）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，以F₁、F₂為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，b）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且

MA

•

MB

=0．求證：直線l在y軸上的截距為定值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知b=c，又a=2

2

，所以b=c=2，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得直線l在y軸上的截距．

解答：（1）解：由題設(shè)知b=c，又a=2

2

，所以b=c=2，故橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1；…（2分）
（2）證明：因?yàn)镸（0，2），所以直線l與x軸不垂直．
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，所以x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-8

2k2+1

…（6分）
又

.

MA

•

.

MB

=0，所以（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=0，即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，
x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）-2（kx₁+m+kx₂+m）+4=0，
整理得（k²+1）x₁x₂+k（m-2）（x₁+x₂）+（m-2）²=0，
即（k²+1）×

2m2-8

2k2+1

+k（m-2）×（-

4km

2k2+1

）+（m-2）²=0，…（10分）
因?yàn)閙≠2，所以2（k²+1）（m+2）-4k²m+（2k²+1）（m-2）=0
展開(kāi)整理得3m+2=0，即m=-

2

3

．
直線l在y軸上的截距為定值-

2

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．