Question

【題目】已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)，使得任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).

（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)； (直接寫出結(jié)論)

①

②

（2）若數(shù)列滿足，求證:“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充分必要條件；

（3）已知數(shù)列中且.若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】（1）①時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì)；②時(shí)，數(shù)列不具有性質(zhì).（2）證明見解析（3）.

【解析】

（1）代入驗(yàn)證即可得.

（2）充分性: 由及數(shù)列具有性質(zhì)可得；必要性：數(shù)列為常數(shù)列，所以可證.

（3）數(shù)列具有性質(zhì)，求出，由，對取值進(jìn)行證明排除，得到，猜想，用反證法證明猜想成立.

（1）①時(shí)，數(shù)列具有性質(zhì).

②時(shí)，數(shù)列不具有性質(zhì).

（2），

，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，

因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，即，

所以數(shù)列為常數(shù)列.

必要性：因?yàn)閿?shù)列為常數(shù)列，所以，

成立，即數(shù)列具有性質(zhì).

（3）數(shù)列具有性質(zhì)，，

，.

若，矛盾；

若則矛盾.

所以，

所以猜想.

證明如下：假設(shè)命題不成立，

設(shè)（ ），

考慮數(shù)列，當(dāng)時(shí)具有性質(zhì)，

此時(shí)，

即或，矛盾，.