Question

【題目】已知圓O；x2+y2=4，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點D圓O上一動點，2=，點C在直線EF1上，且=0，記點C的軌跡為曲線W．

（1）求曲線W的方程；

（2）已知N（4，0），過點N作直線l與曲線W交于A，B不同兩點，線段AB的中垂線為l'，線段AB的中點為Q點，記P與y軸的交點為M，求|MQ|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）[0，5）.

【解析】

（1）由題，易知點D是的中點，可得CE=CF2即CF1+CF2=4為定值，可得C的軌跡為以（-1，0），（1，0）為焦點的橢圓；

（2）由題，設(shè)直線l的方程，聯(lián)立橢圓，求得點N的坐標(biāo)（注意考慮判別式），再得出l'的直線方程，再求得點M的坐標(biāo)，即可求得MQ的長度，求出其范圍即可.

（1）圓O：x2+y2=4，圓心為（0，0），半徑r=4，

F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點D是圓O上一動點，

由2=，可得D為EF2的中點，

點C在直線EF1上，且=0，可得CD⊥EF2，

連接CF2，可得CE=CF2，

且CF1+CF2=CF1+CE=EF1=2OD=4，

由橢圓的定義可得，C的軌跡為以（-1，0），（1，0）為焦點的橢圓，

可得c=1，a=2，b==，

則曲線W的方程為；

（2）由題意可知直線l的斜率存在，

設(shè)l：y=k（x-4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），

聯(lián)立直線與橢圓方程3x2+4y2=12，消去y得：

（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，

x1+x2=，x1x2=，

又△=（-32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得-＜k＜，

x0==，y0=k（x0-4）=-，

∴Q（，-），

∴l(xiāng)'：y-y0=-（x-x0），即y+=-（x-），

化簡得y=-x+，

令x=0，得m=，即M（0，），

|MQ|=（）2+（）2=256，

令t=3+4k2，則t∈[3，4），

∴|MQ|=256=16=16[-3（）2-+1]=16[-3（）2+]．

∴|MQ|∈[0，5）

．