Question

【題目】已知橢圓：的離心率，且過焦點的最短弦長為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線與曲線交于不同的兩點、，求的內(nèi)切圓半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用離心率，過焦點最短的弦為通徑以及解方程組即可求解.

（2）根據(jù)橢圓的定義設(shè)的內(nèi)切圓的半徑最大轉(zhuǎn)化為最大，，由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入面積式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，借助函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

（1）由題意可得，解得，，．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，

因為的周長為，，

因此最大，就最大．

，

由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

所以，．

又因直線與橢圓交于不同的兩點，故，

即，，

則．

令，則，

，

令，

由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，因此有，所以，

即當(dāng)，時，最大，此時，

故當(dāng)直線的方程為時，內(nèi)切圓半徑的最大值為．