Question

已知函數(shù)。
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的，在區(qū)間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在.

試題分析：（1）∵，因此可以得到在是單調(diào)遞增的，從而可以得到在的值域為；（2）根據(jù)題意以及（1）中所求，問題等價于對任意的，
在上總有兩個不同的實根，因此在不可能是單調(diào)函數(shù)，通過求得首先可以預(yù)判的大致的取值范圍為，再由此范圍下的單調(diào)性可以得到在的極值，從而可以建立關(guān)于的不等式，進而求得的取值范圍.
（1）∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且的值域為  6分；
（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的，
在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調(diào)函數(shù)  7分
，其中，
①當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意  8分，
②當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意  10分，
③當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由上可得，此時必有且  12分
而上可得，則，
綜上，滿足條件的a不存在  14分．