Question

【題目】在△ABC中，三邊a，b，c所對(duì)應(yīng)的角分別是A，B，C，已知a，b，c成等比數(shù)列．
（1）若 + = ，求角B的值；
（2）若△ABC外接圓的面積為4π，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，

，

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，

∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得 ，即 ，

由b2=ac知，b不是最大邊，∴

（2）解：∵△ABC外接圓的面積為4π，∴△ABC的外接圓的半徑R=2，

由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得 ，

又b2=ac，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，

∵B為△ABC的內(nèi)角，∴ ，

由正弦定理 ，得b=4sinB，

∴△ABC的面積 ，

∵ ，∴ ，∴

【解析】（1）由切化弦、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)式子，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出B的范圍，由正弦定理和三角形的面積公式表示出△ABC面積，利用B的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出△ABC面積的范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．