Question

【題目】在無窮數(shù)列中， ，對于任意，都有， ．設(shè)，記使得成立的n的最大值為．

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}為1，3，5，7，…，寫出b1，b2，b3的值；

（Ⅱ）若{an}為等比數(shù)列，且a2=2，求b1+b2+b3+…+b50的值；

（Ⅲ）若{bn}為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列{an}．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)b1=1， b2=1， b3=2；(Ⅱ)243；(Ⅲ) ．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結(jié)合數(shù)列的定義可得b1=1， b2=1， b3=2．

（Ⅱ）由題意可得，則b1=1，b2=b3=2，b4=b5= b6= b7=3，b8=b9b15=4，b16=b17b31=5，b32=b33b50= 6．故b1+ b2+b3b50=243．

（Ⅲ）由題意可知．使得成立的n的最大值為，使得成立的n的最大值為，則．結(jié)合題中的條件分析可得，故．

試題解析：

（Ⅰ）b1=1， b2=1， b3=2．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>為等比數(shù)列， a1=1，a2=2，

所以，

因?yàn)槭沟?/span>an≤m成立的n的最大值為bm，

所以b1=1，b2=b3=2，b4=b5= b6= b7=3，b8=b9b15=4，b16=b17b31=5，b32=b33b50= 6．故b1+ b2+b3b50=243．所以b1+ b2+b3+…b50=243．

（Ⅲ）由題意，得，

結(jié)合條件，得．

又因?yàn)槭沟?/span>成立的n的最大值為，使得成立的n的最大值為，所以， ．設(shè)，則．

假設(shè)，即，則當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．

所以， ．

因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，所以公差，所以，其中．

這與（）矛盾，所以．

又因?yàn)?/span>，所以，

由為等差數(shù)列，得，其中．

因?yàn)槭沟?/span>，由，

得．

(1)本題解題的關(guān)鍵是抓住新定義中使得成立的n的最大值為，可將問題迎刃而解．

(2)對于這類問題，我們首先應(yīng)弄清問題的本質(zhì)，然后根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問題時常用的方法即可解決．