Question

設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是的垂直平分線，（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求在軸上的截距的取值范圍。

Answer 1

⑴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)
⑵在軸上截距的取值范圍為

（Ⅰ）兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等，
∵拋物線的準(zhǔn)線是軸的平行線，，依題意不同時(shí)為0
∴上述條件等價(jià)于
∵
∴上述條件等價(jià)于
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。
（Ⅱ）設(shè)在軸上的截距為，依題意得的方程為；過點(diǎn)的直線方程可寫為，所以滿足方程
得
為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式，即
設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
，
由，得，于是
即得在軸上截距的取值范圍為