Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1﹣x）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅲ）判斷函數(shù)f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要函數(shù)有意義，則 ∴﹣1＜x＜1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，1）
（Ⅱ）解：令F（x）=f（x）+g（x）=lg（x+1）+lg（1﹣x）=lg（1﹣x2）．
由（1）得函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱
又F（﹣x）=F（x），
∴函數(shù)F （x）是偶函數(shù)．
（Ⅲ）解：F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，
理由如下：
設(shè)x1、x2∈（0，1），x1＜x2 ，
則 ，即 ＞1，
∴F （x1）﹣F（x2）=lg（1﹣x12）﹣lg（1﹣x22）=lg ＞0．
即F （x1）＞F（x2）
∴F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)
【解析】（Ⅰ）由 可得函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；（Ⅱ）根據(jù)F（﹣x）=F（x），可得：函數(shù)F （x）是偶函數(shù)（Ⅲ）F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，作差可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．