Question

【題目】如圖，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且側(cè)棱垂直于底面，由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線(xiàn)與的交點(diǎn)為．

（1）求三棱柱的體積；

（2）證明：平面平面．

Answer 1

【答案】（1） （2）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由題意求出棱長(zhǎng)，再求出三棱柱ABC-A1B1C1的底面面積，再求出高AA1，即可求出棱柱的體積．（2）連接AD，B1D，平面A1BD內(nèi)的直線(xiàn)OD垂直平面A1ABB1內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)A1B，AB1，即可證明平面A1BD⊥平面A1ABB1．

試題解析：

(1)如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置，連接，則就是由點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線(xiàn)．

設(shè)棱柱的棱長(zhǎng)為，則，

∵，∴為的中點(diǎn)，

在中，由勾股定理得，

即解得，

∵，

∴．

（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，

∵，

∴，∴，

∵，∴平面．

又∵平面，∴平面平面．