Question

【題目】已知首項均為的數(shù)列，，滿足.

（1）令，求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，設，求數(shù)列的前項和.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

試題分析：（1）由題意得，從而，由此推導出數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，進而可求出數(shù)列的通項公式；（2） ,為正項數(shù)列，∴，∴,先分組求，利用錯位相減法結合等比數(shù)列的求和公式，可求得數(shù)列的前項和.

試題解析：（1） ，

即，且，

∴.

（2） ，

∵為正項數(shù)列，∴，∴，

∴.

（2）方法一：

，

設

，

設

，

∴ ，

∴

，

∴，

∴ .

方法二：

，

∴

，

令，

∴ ，

∴

，

∴，

∴.

【 方法點睛】本題主要考查等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列的通項以及錯位相減法求數(shù)列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.