Question

正方形的邊長為2，分別為邊的中點，是線段的中點，如圖，把正方形沿折起，設．

（1）求證：無論取何值，與不可能垂直；
（2）設二面角的大小為，當時，求的值．

Answer 1

（1）與不可能垂直； （2）的值為．

試題分析：（1）假設，                                     1分
又因為，，所以平面，          3分
所以，又，所以，              5分
這與矛盾，所以假設不成立，所以與不可能垂直；   6分
（2）分別以為軸，過點垂直平面向上為軸，如圖建立坐標系，

設平面的一個法向量為，
，
，     7分
得，   8分
設平面的一個法向量為，
，，       9分
得，   10分
                11分
=，                              12分
得，                                             13分
所以當時，的值為．                     14分
點評：中檔題，立體幾何問題中，平行關系、垂直關系，角、距離、面積、體積等的計算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計算”。利用“向量法”，通過建立空間直角坐標系，往往能簡化解題過程。對于折疊問題，首先要弄清“變”與“不變”的幾何元素。