Question

【題目】設(shè)數(shù)列中前兩項(xiàng)給定，若對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，均存在正整數(shù)（）使得，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，試問：與是否相等，并說明數(shù)列是否為“數(shù)列”；

（2）討論首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（3）已知數(shù)列為“數(shù)列”，且 ，記，，其中正整數(shù)， 對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，當(dāng)正整數(shù)分別取1、2、、時(shí)的最大值記為、最小值記為. 設(shè)，當(dāng)正整數(shù)滿足時(shí)，比較與的大小，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）為“數(shù)列”；（2）當(dāng)時(shí),為“數(shù)列”；當(dāng)時(shí),不是“數(shù)列”；（3）；當(dāng)時(shí)，取最大值為

【解析】

（1）由可求得,則,,進(jìn)而比較與的情況,可得與相等,即可得到為“數(shù)列”；

（2）分別討論與的情況,當(dāng)時(shí),利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中,求解,即可判斷；

（3）由題意可知,即,當(dāng)時(shí),設(shè),,則,可推導(dǎo)得到,即,同理可得,由,,,可得,,進(jìn)而作差整理可得,即可判斷數(shù)列的單調(diào)性,從而求解.

（1）與相等,

因?yàn)?/span>是等比數(shù)列,所以,

則,

當(dāng)時(shí),,,

所以,

所以與相等；

因?yàn)閷?duì)每個(gè)正整數(shù)，均存在且,使得

所以為“數(shù)列”

（2）因?yàn)槭醉?xiàng)為、公為“數(shù)列”差為的等差數(shù)列,

所以,

當(dāng)時(shí),對(duì)每個(gè)正整數(shù),均存在正整數(shù)且使得,

所以當(dāng)時(shí),為“數(shù)列”；

當(dāng)時(shí),

,

若,

則,解得,不符合題意,

所以不是“數(shù)列”

（3）由題可知,對(duì)于每個(gè)正整數(shù),均有,,

且對(duì)于所有正整數(shù),均有,即,

對(duì)于每個(gè)正整數(shù),選取恰當(dāng)?shù)恼�整�?shù),使得,,

由,

則,

即,

類似的,

,即,

因?yàn)?/span>,,,

所以,,

所以,

因?yàn)?/span>,所以,

所以,

即,

所以正整數(shù)時(shí),成立,即正整數(shù)時(shí),成立,

所以在正整數(shù)滿足時(shí),當(dāng)時(shí),取得最大值為