Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為正三角形，為棱的中點(diǎn)，，，平面平面

（1）求證：平面平面；

（2）若是棱上一點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先根據(jù)平面平面，得出，結(jié)合條件得出平面，從而可得.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合與平面所成角的正弦值為得出的坐標(biāo)，然后利用法向量可求.

（1）因?yàn)?/span>為正三角形，為棱的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

所以，又，且，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）作中點(diǎn)，連，由（1）及可知平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過且平行于的方向?yàn)?/span>軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，

則,

，

設(shè)，則,，

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>與平面所成角的正弦值為，

所以，即，解得，

即為的中點(diǎn)，則

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

取.

設(shè)平面的法向量為，則，

則二面角的余弦值為，

故.