Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，直線的斜率分別記為．

（1）若圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，求圓的方程；

（2）若．

①求證：；

②求的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2）①詳見解析 ②

【解析】

試題（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是確定圓心及半徑，根據(jù)圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，得圓心的橫坐標(biāo)為又點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，（2）①由直線與圓相切得圓心到切線距離等于半徑，列出兩個(gè)等量關(guān)系，并化簡得：，，由于這兩個(gè)方程類似，因此可轉(zhuǎn)化為是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理得，將代入化簡得②先聯(lián)立直線與橢圓方程組解出P,Q點(diǎn)坐標(biāo)（用斜率表示），,因此，結(jié)合基本不等式得

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以圓心的坐標(biāo)為，

從而圓的方程為．

（2）①因?yàn)閳A與直線相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的兩根，

從而．

②設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，解得，

同理，，

所以

， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 所以的最大值為．