Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，焦距為2，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，若對(duì)滿(mǎn)足條件的任意直線，不等式（）恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最小值為

【解析】

試題分析：（1）依題意，求出，，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，可得，首先討論當(dāng)直線垂直于軸時(shí)， ．

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，得到

，，則，將

及，代入可得，要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值為．

試題解析：（1）依題意，，，

解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)，，所以，

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，且，此時(shí)，，

所以．

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線：，

由整理得，

所以，，

所以

．

要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值為．