Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，N*

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知（N*），記（且），是否存在這樣的常數(shù)，使得數(shù)列是常數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)，均有

成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1） 由和項(xiàng)求通項(xiàng)，注意分類求解: 由時(shí)，，相減得，，再根據(jù)等比數(shù)列定義得 （2）先化簡(jiǎn) = ，由于常數(shù)列與n無(wú)關(guān)，所以，解得 （3） 當(dāng)時(shí)，

兩邊同時(shí)乘以得，，兩式相減得，，，最后根據(jù)等差數(shù)列定義證明

試題解析：（1），所以

由得時(shí)，

兩式相減得，，

數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公為的等比數(shù)列，

所以（）

（2）由于數(shù)列是常數(shù)列

=

為常數(shù)，只有；解得，此時(shí)

（3）……①

，，其中，所以

當(dāng)時(shí)，

②

②式兩邊同時(shí)乘以得，

③

①式減去③得，，所以

且

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．