【題目】已知函數(shù)(
R).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意實數(shù),當(dāng)
時,函數(shù)
的最大值為
,求
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;(Ⅱ)
【解析】
試題(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,實質(zhì)上就是解不等式得增區(qū)間,解不等式
得減區(qū)間;(2)函數(shù)的最大值一般與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系在一起,本題中
,其單調(diào)性要對
進行分類,
時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,不合題意,故有
,按極值點
與0的大小分類研究單調(diào)性有最大值.
試題解析:(1)當(dāng)時,
,
則,
令,得
或
;令
,得
,
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
(2)由題意,
(1)當(dāng)時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,此時,不存在實
數(shù),使得當(dāng)
時,函數(shù)
的最大值為
.
(2)當(dāng)時,令
,有
,
,
①當(dāng)時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,顯然符合題意.
②當(dāng)即
時,函數(shù)
在
和
上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,
在
處取得極大值,且
,
要使對任意實數(shù),當(dāng)
時,函數(shù)
的最大值為
,
只需,解得
,又
,
所以此時實數(shù)的取值范圍是
.
③當(dāng)即
時,函數(shù)
在
和
上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,要存在實數(shù)
,使得當(dāng)
時,
函數(shù)的最大值為
,需
,
代入化簡得,①
令,因為
恒成立,
故恒有,所以
時,①式恒成立,
綜上,實數(shù)的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)開展勞動實習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點,B是圓弧AB與直線BC的切點,四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=,
,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直線DE和EF的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為________cm2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左焦點
,點
在橢圓
上.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)經(jīng)過圓:
上一動點
作橢圓
的兩條切線,切點分別記為
,
,直線
,
分別與圓
相交于異于點
的
,
兩點.
(i)當(dāng)直線,
的斜率都存在時,記直線
,
的斜率分別為
,
.求證:
;
(ii)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的正三角形中,E為邊
的中點,過E作
于D.把
沿
翻折至
的位置,連結(jié)
.翻折過程中,其中正確的結(jié)論是( )
A.;
B.存在某個位置,使;
C.若,則
的長是定值;
D.若,則四面體
的體積最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達對祖國的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標系中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標方程為(
),M為該曲線上的任意一點.
(1)當(dāng)時,求M點的極坐標;
(2)將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)與
在區(qū)間D上恒有
.
(1)若,求h(x)的表達式;
(2)若,求k的取值范圍;
(3)若求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
(t為參數(shù)),曲線
,(
為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線,
的極坐標方程;
(2)射線分別交
,
于A,B兩點,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為舉辦甲、乙兩項不同活動,分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持,對學(xué)生進行簡單隨機抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:
男生 | 女生 | |||
支持 | 不支持 | 支持 | 不支持 | |
方案一 | 200人 | 400人 | 300人 | 100人 |
方案二 | 350人 | 250人 | 150人 | 250人 |
假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立.
(Ⅰ)分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;
(Ⅱ)從該校全體男生中隨機抽取2人,全體女生中隨機抽取1人,估計這3人中恰有2人支持方案一的概率;
(Ⅲ)將該校學(xué)生支持方案的概率估計值記為,假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生,除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為
,試比較
與
的大。ńY(jié)論不要求證明)
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