Question

【題目】已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）經過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點的，兩點.

（i）當直線，的斜率都存在時，記直線，的斜率分別為，.求證：；

（ii）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）把點代入橢圓方程，結合，，即可求得橢圓的標準方程.

（Ⅱ）（i）設點 ,寫出切線方程，聯(lián)立方程組，再由，結合韋達定理，寫出的表達式，化簡得出結果;

（ii）設點，，進而求得直線和的直線方程，結合兩條直線的形式，可寫出直線的方程，運用弦長公式求得，結合的范圍，可求得的取值范圍.

（Ⅰ）∵橢圓的左焦點，∴.

將代入，得.

又，∴，.

∴橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）（i）設點，設過點與橢圓相切的直線方程為.

由，消去，得.

.

令，整理得.

由已知，則.

又，∴.

（ii）設點，.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由，消去，得.

.

令，整理得.

則.

∴直線的方程為.

化簡，可得，即.

經驗證，當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，也滿足.

同理，可得直線的方程為.

∵在直線，上，∴，.

∴直線的方程為.

由，消去，得.

∴，.

∴

.

又由（i）可知當直線，的斜率都存在時，；易知當直線或斜率不存在時，也有.

∴為圓的直徑，即.

∴.

又，∴.

∴的取值范圍為.