Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

(1)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.

(2)設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到m,k的關(guān)系，進(jìn)而得直線MN恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)Q的位置.

(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.

(2)設(shè)點(diǎn).

因?yàn)?/span>AM⊥AN，∴，即,①

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,如圖1.

代入橢圓方程消去并整理得：,

②,

根據(jù),代入①整理可得：

將②代入，，

整理化簡得,

∵不在直線上，∴，

∴，

于是MN的方程為，

所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得,如圖2.

代入得,

結(jié)合,解得,

此時(shí)直線MN過點(diǎn),

由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，

所以AE中點(diǎn)Q滿足為定值（AE長度的一半）.

由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.

故存在點(diǎn)，使得|DQ|為定值.