Question

【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)P的軌跡為，即得解；（2）先求出點(diǎn)P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.

（1）以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則設(shè)，

由得，

所以，

所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.

（2）設(shè)點(diǎn)，由得，

所以，

由題得

所以設(shè)平面的法向量為，

所以，

由題得，

所以點(diǎn)P到平面的距離為，

因?yàn)?/span>，

所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為，

由題得為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，

所以三棱錐的體積的最小值為.

故答案為：(1). (2). ．