Question

【題目】已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）經(jīng)過圓：上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).

（i）求證：；

（ii）求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可知，，，再結(jié)合即可解出，得到

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）（i）根據(jù)直線，的斜率都存在或者直線，其中一條直線斜率不存在分類討論，當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)可得直線，的斜率的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在圓上可得，即證出，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，可確定點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，易得；

（ii）設(shè)出點(diǎn)，，分類討論直線的斜率存在時(shí)以及不存在時(shí)的情況，由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立可得，即可得到直線的斜率存在或不存在時(shí)的方程為，同理可得直線的方程為，即可得直線的方程為，再與橢圓方程聯(lián)立求得弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，從而得到的面積的表達(dá)式，再根據(jù)換元法以及函數(shù)值域的求法即可求解．

（Ⅰ）∵橢圓的左焦點(diǎn)，∴.

將代入，得.

又，∴，.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）（i）設(shè)點(diǎn).

①當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為.

由，消去，

得.

.

令，整理得.

設(shè)直線，的斜率分別為，.∴.

又，∴.

∴，即為圓的直徑，∴.

②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，

則直線的方程為.

∴，，也滿足.

綜上，有.

（ii）設(shè)點(diǎn)，.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由，消去，得.

.

令，整理得.

則.

∴直線的方程為.

化簡(jiǎn)可得，即.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

直線的方程為或，也滿足.

同理，可得直線的方程為.

∵在直線，上，∴，.

∴直線的方程為.

由，消去，得.

∴，.

∴

.

又點(diǎn)到直線的距離.

∴.

令，.則.

又，∴的面積的取值范圍為.