Question

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x²＋ax－3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)證明對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx>－成立．

Answer 1

（1）f(x)_min＝（2）a≤4（3）見解析

(1)解：f′(x)＝lnx＋1，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．
①當(dāng)0<t<t＋2<時(shí)，t無解；②當(dāng)0<t<<t＋2，即0<t<時(shí)，f(x)_min＝f＝－；
③當(dāng)≤t<t＋2，即t≥時(shí)，f(x)在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，f(x)_min＝f(t)＝tlnt，
所以f(x)_min＝.
(2)解：由題意，要使2xlnx≥－x²＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．
設(shè)h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，則h′(x)＝＋1－.
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增．
所以x＝1時(shí)，h(x)取得極小值，也就是最小值，
即[h(x)]_min＝h(1)＝4，所以a≤4.
(3)證明：問題等價(jià)于證明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．
由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取得．設(shè)m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，則m′(x)＝，
易得[m(x)]_max＝m(1)＝－，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取得，
從而對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx>－成立