Question

已知數(shù)列的前三項分別為，，，（其中為正常數(shù)）。設。
（1）歸納出數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列；
（2）若=1，求的值；
（3）若=4，試證明：當時，．

Answer 1

（1），證明詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據條件中給出的的表達式，可以歸納出數(shù)列的通項公式為，證明不可能為等比數(shù)列可以考慮采用反證法來證明，假設為等比數(shù)列，可以得到與事實不符的等式，從而得證；（2）若時， ∴，
∴，利用錯位相減法進行數(shù)列求和，即可得到f(2)的表達式；（3）當=4，欲證當時，，即證，嘗試采用分析法，從要證明的不等式出發(fā)，執(zhí)果索因，即可得證
（1）數(shù)列的通項公式為              2分
下面證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列：
假設數(shù)列為等比數(shù)列，則，即（），
即，兩邊平方整理得：4=0，矛盾，
故數(shù)列不可能為等比數(shù)列             5分
（2）若，，∴ ，∴，
∴ ①
 ②
①-②得
∴          9分
（3）若=4，
法一：當時，欲證 ，
只需證
只需證
只需證 
只需證 
只需證 
顯然 不等式成立，
因此 當時，．                            14分
法二：


， ，
故．