Question

已知正四棱錐的側(cè)棱和底面所成的角為α，側(cè)面和底面所成的角為β，兩相鄰側(cè)面所成的角為γ，求證：

（1）cotα·tanβ=；

（2）sinα·tan=1.

Answer 1

證明：（1）如右圖設(shè)正四棱錐的高SO=h，底面邊長為a，連OC，則∠SCO=α.取AB的中點E，連結(jié)SE、OE，則∠SEO=β.

∵tanβ=,cotα=,

∴cotα·tanβ=.

（2）過B作BF⊥SC于F，連結(jié)DF，易證：DF⊥SC，

∴∠BFD=γ.

連結(jié)OF，則∠BFO=，且OF⊥BD.

∵sinα=,tan=，

又OB=OC，∴sinα·tan=1.