Question

【題目】若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離之和為．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并在答題卡所示位置畫(huà)出方程的曲線(xiàn)草圖；

（2）（理）記（1）得到的軌跡為曲線(xiàn)，問(wèn)曲線(xiàn)上關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）（文）記（1）得到的軌跡為曲線(xiàn)，若曲線(xiàn)上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡方程為，作圖見(jiàn)解析 （2）答案不唯一 ，見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)條件列方程，化簡(jiǎn)即得軌跡方程，再根據(jù)軌跡形狀畫(huà)圖；

（2）結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再利用方程求解不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后綜合得結(jié)果；

（3）結(jié)合圖象易得關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的有一對(duì)，再利用方程求解不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的對(duì)數(shù)為兩對(duì)的條件，即得結(jié)果.

解：、設(shè)，由題意

①：當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得：

②：當(dāng)時(shí)，有，化簡(jiǎn)得：（二次函數(shù)）

綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為（如圖）

、（理）當(dāng)或顯然不存在符合題意的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，注意到曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，至少存在一對(duì)（關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

下面研究曲線(xiàn)上關(guān)于對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，則，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，

聯(lián)立方程組（*）得，

化簡(jiǎn)得

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)有兩解，即增加有兩組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)只有一組解，即增加一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。（注：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，）

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)有兩解為，沒(méi)有增加新的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

綜上所述：

（3）、（文）若，則，所以曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以一對(duì)存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

下面研究曲線(xiàn)上關(guān)于對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，則，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由于點(diǎn)在軌跡上，

所以，聯(lián)立方程組（*）得，化簡(jiǎn)得

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組(*)有兩解，即增加有兩組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

所以的取值范圍是