Question

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線，使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

Answer 1

⑴；⑵橢圓的焦距的取值范圍是.

試題分析：⑴，，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，這樣便有三個(gè)方程，三者聯(lián)立，即可求出，從而得橢圓的方程.⑵顯然斜率不存在或斜率等于0時(shí)，不可能滿足題意.故可設(shè)直線l的方程為：，這樣可將點(diǎn)C(2, 0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)用表示出來，然后代入橢圓的方程，從而得一關(guān)于的方程：.設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.根據(jù)二次方程根的分布可得.進(jìn)而求得橢圓的焦距的取值范圍.

試題解析：⑴,
∵點(diǎn)P(2,1)在橢圓上,∴     5分
⑵依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：.
設(shè)點(diǎn)C(2, 0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則

若點(diǎn)在橢圓上，則

設(shè)，因此原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正根.
①當(dāng)時(shí)，方程一定有正根；
②當(dāng)時(shí)，則有
∴綜上得.
又橢圓的焦距為.
故橢圓的焦距的取值范圍是(0,4]         13分