Question

已知橢圓，直線與相交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，且直線的方程為或.

試題分析：（1）先確定三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用其外接圓圓心即為該三角形垂直平分線的交點(diǎn)求出外接圓的圓心，并利用兩點(diǎn)間的距離公式求出外接圓的半徑，從而求出外接圓的方程；（2）將、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，且有，借助韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.
試題解析：（1）因?yàn)橹本�的方程為，
所以軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).
則線段的中點(diǎn)，，
即外接圓的圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為；
（2）結(jié)論：存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn).
理由如下：
由題意，設(shè)直線的方程為，，，
則，，
由方程組得，
所以，（*）
由韋達(dá)定理，得，.
由、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合.
所以，
解得.
由、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得.
所以，
即，
解得.
驗(yàn)證知（*）成立.
所以存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，此時(shí)直線l的方程為，
或.