Question

【題目】對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，記，給出下列定義：

①若存在實數(shù)，使成立，則稱數(shù)列為“有上界數(shù)列”；

②若數(shù)列為有上界數(shù)列，且存在，使成立，則稱數(shù)列為“有最大值數(shù)列”；

③若，則稱數(shù)列為“比減小數(shù)列”．

（1）根據(jù)上述定義，判斷數(shù)列是何種數(shù)列？

（2）若數(shù)列中，，，求證：數(shù)列既是有上界數(shù)列又是比減小數(shù)列；

（3）若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且是有上界數(shù)列，但不是有最大值數(shù)列，求證：，．

Answer 1

【答案】（1）既是有上界數(shù)列，又是有最大值數(shù)列；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由，，得，，由此得到數(shù)列既是有上界數(shù)列，又是有最大值數(shù)列．

（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明．．然后證明，由此得到數(shù)列既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列．

（3）假設(shè)對于，，由此推導(dǎo)出無窮數(shù)列不是有上界數(shù)列，與已知矛盾，假設(shè)不成立，從而得到對于數(shù)列，，．

解：（1）由題意知，，

，

，且存在，，

所以數(shù)列既是有上界數(shù)列，又是有最大值數(shù)列．

（2）數(shù)列中，，，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，

①，命題；

②假設(shè)時命題成立，即，

當(dāng)時，，

，

所以，當(dāng)時，命題成立，即．

下面證明．

．

因為，所以，即．

由，，

兩式相除得：，，

所以，，，

即．

下面證明，

即需證明，即需證明，

而已證明成立，

所以，

即，，

所以，數(shù)列既是比減少數(shù)列又是有上界數(shù)列．

（3）用反證法，假設(shè)對于，，

即，

因為無窮數(shù)列各項為正且單調(diào)遞增，所以．

，

所以．當(dāng)時，

，所以無窮數(shù)列不是有上界數(shù)列，與已知矛盾，假設(shè)不成立，

因此，對于數(shù)列，，．