Question

【題目】如圖1，四邊形是等腰梯形，，，，為的中點(diǎn).將沿折起，如圖2，點(diǎn)是棱上的點(diǎn).

（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）若，試確定的位置，使二面角的余弦值等于.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，易知，可得平面，從而，取中點(diǎn)，連結(jié)，，易證，，，四點(diǎn)共面，由，可得，即可證明平面，從而可證明平面平面；

（2）先證明互相垂直，進(jìn)而分別以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得到點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面和平面的法向量，由可求出的值.

（1）由題意，且，所以四邊形是平行四邊形，

又，，所以是正三角形，是菱形，

取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，易知是正三角形，則，又，則平面，所以；

取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，所以，，，四點(diǎn)共面，

又，則，又，所以平面.

又平面，∴平面平面.

（2）因?yàn)?/span>，，所以，又且，則以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，設(shè)，

則，易知平面的法向量可取，

設(shè)平面的法向量為，又，，

∴，則可取，

由題意，解得，故.