Question

【題目】正整數(shù)數(shù)列滿足：，

（1）寫出數(shù)列的前5項；

（2）將數(shù)列中所有值為1的項的項數(shù)按從小到大的順序依次排列，得到數(shù)列，試用表示（不必證明）；

（3）求最小的正整數(shù)，使．

Answer 1

【答案】（1）前五項為，，，，；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系令依次求出前五項；

（2）依次寫出部分項，觀察規(guī)律歸納結(jié)果，加以分析其正確性；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求出，再把轉(zhuǎn)化為進行分類討論，驗證其與2013的大小關(guān)系，直到求解得出出具體值.

（1）由題：，，

，，

，，

，，

，

所以前五項為，，，，；

（2）由題

，

歸納，

顯然當(dāng)時，結(jié)論成立，

假設(shè)已有，顯然，

則，

，

，

，

…

可以歸納：，

故當(dāng)時，

因此成立；

（3）由（2）

所以，

即是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

，，

由可知：

當(dāng)時，，

因此當(dāng)時，；

當(dāng)時，或，即不能使成立，

考慮時：

由（2）

則解得，則，

所以，

所以使的最小的正整數(shù)，