Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（

1

2

，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：第（Ⅰ）問利用條件f′（1）=0可以構(gòu)建關(guān)于a，b的方程，然后通過移項(xiàng)就可以用含a的式子表示b，利用導(dǎo)數(shù)大于0求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；第（Ⅱ）問把函數(shù)f（x）在（

1

2

，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù) f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，通過求函數(shù)的最值、極值和一些函數(shù)值與0的關(guān)系來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1

x

-ax+b
∴f′（1）=1-a+b=0，即b=a-1      …（2分）
∴f′（x）

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

…（3分）
由f′（x）＞0及x＞0，a＞0得0＜x＜1
由f′（x）＜0及x＞0，a＞0得x＞1…（5分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞） …（6分）
（2）由（1）知f（x）在(

1

2

，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（x）在(

1

2

，+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)
∴f（x）_max=f（1）=

1

2

a-1＞0，得a＞2 …（8分）
又f（e）=1-

1

2

ae2+(a-1)e=-

1

2

a(e-1)2+1+

1

2

a-e＜-

1

2

a+1+

1

2

a-e＜0
∴f（x）在（1，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)  …（10分）
∴f（x）在（

1

2

，+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件是f（x）在（

1

2

，1）上有一個(gè)零點(diǎn)，即f（

1

2

)＜0，解得a＜

4

3

+

8

3

ln2  …（12分）
綜上知所求a的范圍為（2，

4

3

+8ln2） …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、最值等，解決本題的關(guān)鍵是把研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，然后通過求最值、極值和某些函數(shù)值與0比較來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．