Question

【題目】已知a＞2，求證：loga(a－1)＜log(a＋1)a.

Answer 1

【答案】【解答】
證明：∵a＞2，∴a－1＞1.∴l(xiāng)oga(a－1)＞0，log(a+1)a＞0，
由于

.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2.
∴ ，
即 .
∵log(a+1)a＞0，∴l(xiāng)oga(a－1)＜log(a＋1)a.
【解析】本題考查作商比較法的應(yīng)用，解答本題需要先判斷不等式兩側(cè)代數(shù)式的符號(hào)，然后再用作商法比較左右兩側(cè)的大小.(1)當(dāng)不等式的兩邊為對(duì)數(shù)式或指數(shù)式時(shí)，可用作商比較法來證明，另外，要比較的兩個(gè)解析式均為正值，且不宜采用作差比較法時(shí)，也常用作商比較法.(2)在作商比較法中 是不正確的，這與a、b的符號(hào)有關(guān)，比如若b＞0，由 ，可得a＞b，但若b＜0，則由 得出的反而是a＜b，也就是說，在作商比較法中，要對(duì)a、b的符號(hào)作出判斷，否則，結(jié)論將是錯(cuò)誤的.對(duì)于此類問題，不外乎可分為含參數(shù)變量的和大小固定的兩類，因而也可以通過特殊值的方法進(jìn)行一定的猜測(cè)，進(jìn)而給出一定的理性推理或證明過程.