Question

【題目】如圖，已知拋物線，在軸正半軸上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸分別交于點(diǎn).當(dāng)，直線的斜率為1時(shí)，.

（1）求拋物線的方程；

（2）判斷是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，定值1

【解析】

（1），得為焦點(diǎn)，所以，再由直線與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求解；

（2）設(shè)，，，，直線，，分別聯(lián)立拋物線方程可得，，，.設(shè)，，由，，三點(diǎn)共線，通過(guò)計(jì)算可得，即，關(guān)于軸對(duì)稱，從而使問(wèn)題得到解決.

（1）設(shè)，，

將直線與拋物線聯(lián)立，

得，所以.

由，得即為焦點(diǎn)，

所以，即，

所以拋物線的方程為.

（2）由題意可知，，斜率存在且不為0.

設(shè)，，，

設(shè)直線，，

與拋物線聯(lián)立得，，，

所以，，，.

設(shè)，，由，，三點(diǎn)共線，又，，

得

.

同理，

.

所以

.

即，關(guān)于軸對(duì)稱.

所以，為定值.